Séminaire TNGA : Tristan Vaccon

Orateur : Tristan Vaccon (Limoges)

Titre : Algorithme OM et Cluster Pictures : où sont les racines des polynômes p-adiques ?

Résumé : Lorsqu’on travaille avec des polynômes sur les p-adiques, on est amené naturellement à travailler avec des approximations de la forme f + O(p^N).

Peut-on savoir où sont les racines de tous les polynômes de la forme f + O(p^N) ?

Prenons un exemple avec f = X² + O(p²⁰).

On a dans cet ensemble de polynômes :

• X², qui a 0 comme racine double ;
• X² − p²⁰, qui a deux racines simples : p¹⁰ et −p¹⁰.

Dans un travail commun avec Adrien Poteaux et Martin Weimann, nous combinons les algorithmes OM, un théorème de continuité des racines de Brink pour donner une réponse algorithmique à cette question de trouver où sont les racines des polynômes de la forme f + O(p^N).
Sur le chemin, nous proposons un algorithme qui calcule la Cluster Pictures des racines de polynômes ainsi que le squelettes de Berkovich de ces racines : ils donnent la configuration relative des racines.

Divulgâchage : pour X² + O(p²⁰), tout polynôme qui s’écrit de cette manière a deux racines (possiblement confondues) dans la boule centrée en 0 de rayon p⁻¹⁰, et cette réponse est optimale. On verra dans l’exposé pourquoi c’est le cas.