Séminaire TNGA : Bouchaïb Sodaïgui

Orateur : Bouchaïb Sodaïgui

Titre : Classes de Steinitz d’extensions galoisiennes non ramifiées

Résumé : Soient K un corps de nombres et Cl_K son groupe de classes. Soit Γ un groupe fini. On désigne par R_nr(K, Γ) le sous-ensemble de Cl_K formé par les classes réalisables comme classes de Steinitz d’extensions galoisiennes de K, non ramifiées aux places finies de K et ayant un groupe de Galois isomorphe à Γ. Si Γ est abélien et le nombre de classes de K au sens restreint est premier avec l’ordre de Γ, alors R_nr(K, Γ)= Æ. Dans cet exposé, pour Γ quelconque on considère l’ensemble R’_nr(K, Γ):={1} È R_nr(K, Γ). On prouve que R’_nr(K,ℤ/2ℤ) est un sous-groupe de Cl_K,2 :={c ∈ Cl_K,2 | c²=2}; de plus il est égal à Cl_K,2 sous une certaine hypothèse sur K. En utilisant ce résultat, on montre que R’_nr(K, Γ) est un sous-groupe de R’_nr(K,ℤ/2ℤ) si Γ est d’ordre impair, ou bien a un 2-sous-groupe de Sylow non cyclique (par exemple Γ un 2-groupe non abélien, Γ=S_n ou A_n, avec n ≥ 4), ou bien a un 2-sous-groupe de Sylow cyclique et normal (par exemple Γ nilpotent d’ordre pair)