Une généralisation des mots parfaitement amassant via des modules bandes-briques de certaines algèbres aimables

Exposé dans le cadre du séminaire d’algèbre et de géométrie

Orateur : Benjamin Duquene (Amiens)

Un mot est dit parfaitement amassant si sa transformation de Burrows-Wheeler est composée de lettres placées dans l’ordre décroissant. Grâce au travail de Gessel et Reutenauer, étant donné des nombres fixés d’occurences des lettres formant un mot, il existe au plus un mot parfaitement amassant à conjugaison cyclique près. Il y a un certain nombre de correspondances entre ces mots et d’autres sujets combinatoires et algébriques; comme les méandre et les algèbres algales (“seaweed algebras”). 

Les algèbres aimables ont été introduites par Assem et Skowroński dans les années 80s. Elles forment un classe d’algèbres de dimension finie dont les modules indécomposables admettent une classification combinatoire explicite.  Des travaux récents effectués par plusieurs auteurs (entre autres, Amiot, Baur, Coelho, Opper, Padrol, Palu, Pilaud, Plamondon, et Schroll) ont aussi permis de lier cette combinatoire à celle des courbes sur des surfaces.  Nous utilisons cette connexion afin de mettre en lumière une bijection entre des classes d’isomorphismes de modules indécomposables de certaines de ces algèbres et les mots parfaitement amassant. Puis, cette approche pour permet de montrer que le nombre de mots parfaitement amassant apparaissant dans la transformation de Gessel-Reutenauer d’un mot constitué de n lettres placées dans l’ordre décroissant est au plus de ⌊n/2⌋, ce qui prouve une conjecture de Mélodie Lapointe. Mon exposé a pour but d’introduire les objets en jeu, de mettre en avant cette bijection, et d’equisser la preuve que nous apportons à la conjecture mentionnée. C’est un travail en collaboration avec Mélodie Lapointe, Yann Palu, Pierre-Guy Plamondon, Christophe Reutenauer, et Hugh Thomas.