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SUMMARY:Séminaire des jeunes chercheurs : Joaquim Cera Da Conceicao (Université de Bordeaux)
DESCRIPTION:Titre : Rencontres du troisième type \n\n\n\nRésumé : Un nombre premier $p$ tel que $p^2\mid 2^{p-1}-1$ est appelé premier de Wieferich. Cette notion se généralise dans $\mathbb{F}q[\theta]$ : pour $a\in\mathbb{F}_q[\theta]$\, un polynôme irréductible $P$ est dit de $a$-Wieferich si $P^2\mid a^{NP-1}-1$\, où $NP=q^{\deg(P)}$. Sauerberg et Shu (1997) ont montré qu’il en existe une infinité si et seulement si $a$ est une puissance $p$-ième\, où $q=p^s$. Comme $a^n-1$ définit une suite récurrente\, il semble naturel d’étendre cette notion à une suite quelconque. Soit $X=(x_n){n\geq 0}$ une suite linéaire récurrente d’ordre $2$ de $\mathbb{F}_q[\theta]$. Le rang d’apparition d’un polynôme $a$ dans $X$\, noté $\rho_X(a)$\, est le plus petit entier $n\geq1$ tel que $a\mid x_n$\, s’il existe. Ainsi\, un polynôme irréductible $P$ tel que $\rho_X(P^2)=\rho_X(P)$ est appelé premier de Wieferich pour $X$. Nous verrons qu’il existe exactement trois types de suites\, déterminés par une relation sur les $p$ premiers termes. Les types $1$ et $2$ sont simples à étudier et permettent de généraliser le résultat de Sauerberg et Shu. Pour le troisième type\, le problème reste ouvert en général. Je présenterai certaines suites de type $3$ dont l’ensemble des premiers de Wieferich admet une densité positive\, puis j’expliquerai les difficultés rencontrées dans les autres cas.
URL:https://lmno.unicaen.fr/evenement/seminaire-des-jeunes-chercheurs-joaquim-cera-da-conceicao-universite-de-bordeaux/
LOCATION:Caen · Campus 2 · Sciences 3 · Salle S3-247\, UFR des Sciences\, Sciences 3\, 6 Boulevard Maréchal Juin\, Caen\, 14000\, France
CATEGORIES:Jeunes chercheurs,Séminaire
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